Matemática

Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos

As áreas de figuras planas, estudadas pela geometria plana, foi desenvolvida ainda na Grécia antiga e é baseada nos postulados de Euclides.

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As áreas de figuras planas são estudadas pela geometria plana, conhecimento desenvolvido ainda na Grécia antiga. Contudo, a geometria plana pode ser denominada também de geometria euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria (360 – 295 ac,).

A propósito, vale lembrar que este grande matemático educou-se na cidade de Atenas e frequentou a escola fundamentada nos princípios de Platão.

A princípio, a palavra geometria vem do grego Geometrein (geo “terra” e metrein medida). No entanto, no seu sentido original, geometria era a ciência de medição da terra que era feita para determinar as fronteiras.

No Egito, as sucessivas enchentes do rio Nilo, dificultavam a demarcação de fronteiras e consequentemente a arrecadação de impostos.

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Portanto, a partir desse fato, os faraós começaram a nomear agrimensores (pessoas que mediam e demarcavam os terrenos), para normalizar a situação (PAULANTE, 2014 p.25). Porém, é importante lembrar que muitas outras civilizações possuíam também o conhecimento da geometria como as civilizações antigas da Babilônia, Índia e China.

Áreas de figuras planas e o tratado de Euclides

Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos
Claudio Buffara

Por volta de 300 a. c., Euclides escreveu Os elementos, um tratado matemático e geométrico distribuído em 13 livros. Basicamente, o estudo apresentado por Euclides foi baseado nos estudos do ponto, da reta, e do plano.

A propósito, o ponto era considerado um elemento sem definição plausível, a reta era definida como sequência infinita de pontos e o plano era uma disposição de retas.

Contudo, a geometria plana, iniciou-se no primeiro volume desse tratado, que é hoje conhecida como geometria euclidiana plana. Assim, neste volume, foram definidos alguns objetos geométricos como retângulo, círculo, triângulo etc., No entanto, para provar algumas verdades de ordem matemática, Euclides lançou o método axiomático.

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Assim, Euclides, no início de seu texto expõe cinco verdades óbvias admitidas como noções comuns:

  1. Coisas iguais a uma mesma coisa são também iguais;
  2. Se iguais são adicionados a iguais os totais obtidos são iguais;
  3. Se iguais são subtraídos de iguais, os totais são iguais;
  4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais;
  5. O todo é maior que qualquer uma de suas partes.

Neste sentido, ele construiu a geometria plana através do método axiomático. Ou seja, o método axiomático são argumentos demonstrativos para provar que uma afirmação é verdadeira. Contudo, isso aconteceu em uma sequência de argumentos, até chegar a um argumento realmente convincente.

Postulados de Euclides

Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos
National Geographic

Assim, quando se atinge o argumento verdadeiro este tem valor de postulado ou tem papel de axioma. Porém, existem dois requisitos para aceitação de um postulado, no sentido que uma prova esteja correta;

  • Aceitar como verdadeiras as afirmações chamadas axioma ou postulado;
  • Saber como e quando uma afirmação segue logicamente de outra;

Neste sentido, Euclides baseou sua geometria plana e o cálculo das áreas de figuras planas, sobre cinco postulados. Além disso, ele deduziu 465 proposições complicadas e não intuitivas sobre estas afirmações:

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  1. Pode-se traçar uma reta ligando quaisquer dois pontos
  2. Continuar qualquer reta finita continuamente em uma reta.
  3. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio
  4. Todos os ângulos retos são iguais
  5. Sejam duas retas m em cortadas por uma terceira reta r se a soma dos ângulos formados é menor que 180 graus, então m e n não são paralelas. Além disso, elas se intersectam do lado dos ângulos cuja soma é menor que 180 graus.

Utilidades do cálculo de Áreas das figuras planas

Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos
Conexão Amsterdam

A princípio, é preciso buscar informações históricas para termos um entendimento mais completo sobre o cálculo de áreas de figuras planas. Neste sentido, na antiguidade observava-se a utilização dos ventos como forma de energia.

Portanto, o vento era utilizado nas embarcações, nos processos de irrigação e moagem de grãos. Assim, a análise das superfícies era muito importante, principalmente para ter uma ideia exata sobre tamanhos das velas de um barco, ou das pás de um moinho.

Desta forma, quanto maior o tamanho das superfícies maior era o contato com o vento, gerando mais energia. Por outro lado, ainda usamos a análise geométrica em nossos dias para a fabricação de turbinas e até mesmo nas novas propostas sustentáveis de energia eólica.

Contudo, para análise das áreas de figuras planas, é necessário focar em seus diferentes formatos: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, losango e trapézio.

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Primeiramente, para calcular a área de uma figura geométrica o princípio básico é compará-la com outra figura da mesma espécie que é tomada por unidade. A área de uma figura se define pelo trecho do plano que esta figura preenche.

Como calcular as áreas de figuras planas

Área do quadrado:

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Estudos Kids

Antes de mais nada, se tomarmos “a” como medida do lado do quadrado, e se a base do quadrado é igual à altura temos A = a².

No entanto, se o lado deste quadrado for 4cm, por exemplo, então:

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A= 4² A= 16

Área do retângulo:

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Um Como

A princípio, para se calcular a área do retângulo, multiplicamos a sua base pela sua altura. Contudo, podemos calcular a área do retângulo relacionando a um quadrado também.

A = b . h

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Área do paralelogramo

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Estudo Kids

Basicamente, para se calcular a área do paralelogramo se considera que quando o dividimos ela se transforma em um retângulo. Assim utilizamos a mesma fórmula do retângulo.

A = b . h

Área do triângulo

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Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos
Estratégias

Antes de mais nada, a área do triângulo se calcula pela multiplicação de sua base pela altura e dividida por dois. Porém, pode-se extrair esse cálculo da relação entre triângulo e paralelogramo.

A = (base . altura)/ 2

Cálculo de Área do losango

Áreas de figuras planas: tipos, relações e cálculos
123, calculei

A princípio, quando consideramos um losango ABCE, cujas diagonais medem D (maior) e d (menor). Podemos decompor essa figura em 2 triângulos congruentes. Portanto, vale lembrar que no cálculo das áreas de figuras planas, utilizamos sempre a relação entre as figuras.

  • O triângulo ABC
  • E o triângulo ACE

No entanto, para calcular a área do losango podemos somar as áreas dos triângulos. Vale lembrar, que para calcular a área de um triângulo usamos a fórmula

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A=    (b .h)/2

Porém, quando substituímos esses dados no losango teremos: base = d (diagonal menor); altura = D/2 (metade da diagonal maior). Portanto, quando consideramos que a área do losango é a soma das áreas do triângulo ABC e ACE, chegaremos à seguinte fórmula:

A = D . d/2

Área do círculo

Portal do professor

Primeiramente, para entendermos o cálculo de área do círculo, precisa-se passar por alguns passos. A propósito, aqui é importante lembrar que no cálculo de áreas de figuras planas se considera a relação entre as figuras.

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  • Antes de mais nada, vamos imaginar uma circunferência;
  • Dentro dela podemos visualizar um polígono regular. Portanto, vamos relacionar a circunferência com um polígono;
  • Visualizamos os raios que vão do centro ao vértice da circunferência

Assim, o cálculo da circunferência é igual ao cálculo de um polígono de n lados

A = (n. a . h)/2 para calcular a área de um polígono circular.

Sendo, (n . a) o valor do polígono, concluímos que ao cálculo da circunferência é igual ao cálculo de um polígono com n lados

A = comprimento da circunferência. r/2  A = 2𝜋 . r/2    A = 𝜋 . r²

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Cálculo da área do trapézio

Estudo Kids

A princípio, o trapézio é uma figura que possui duas bases: base maior (B) e base menos (b) e altura (h). A área do trapézio é igual à soma das áreas de dois triângulos, um de base B a altura h e outro de base b e altura.

  • Primeiro triângulo (MPQ), MPQ = (B . h)/2
  • Segundo triângulo (MNQ), MNQ = ( b . h )/2

Portanto, a área do trapézio é calculada pela seguinte fórmula:

A = triângulo MPQ + triângulo MNQ      A = B . h2 + b. h2

A = ( B + b) . h/2

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Utilização dos cálculos de figuras planas

Artout
  • O campo de futebol é baseado no cálculo do retângulo, para a trave e o campo.
  • A princípio, na arte cubista, alguns artistas utilizam as figuras geométricas em suas obras, como Picasso e Braque.
  • A feitura de uma pipa se elabora utilizando os princípios geométricos. No entanto, às vezes, não percebemos isso.
  • Basicamente, na feitura de um balão de São João, utilizamos a forma geométrica, losango.
  • Para fazer um avião de papel, estamos usando princípios da geometria plana. Contudo, por vezes nem nos damos conta.
  • Na construção de um circo, se utiliza princípios da geometria plana. Neste sentido, realiza-se o estudo de área da circunferência.

A fórmula de Heron

Mozaweb

A princípio, seguindo a fórmula de Heron, determinamos a área do triângulo somente pro meio de medidas dos lados.

Neste sentido, descarta-se  a utilização da altura do triângulo. A propósito, vale lembrar que essa expressão foi  formulada por Heron de Alexandria, inventor da eolípila, um dos primeiros motores a vapor.

Onde:  A – área do triângulo

P = semi-perímetros (metade da soma dos lados do triângulo)

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a, b, c = medidas dos lados do triângulo

Assim, o semiperímetro é calculado por;

p = (a + b+c) /2

Gostou da matéria? Se gostou, leia também: Área do triângulo – Como calcular, tipos, Teorema de Pitágoras

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Fontes: Toda Matéria, Guia do Estudante, Mundo Educação, Coc

Imagens: Pexels, Claudio Buffara, National Geographic, Conexão Amsterdam, Estudos Kids, Um Como, Estratégias, 123 calculei, Portal do Professor, Artout, Mozarweb

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