Regra de Cramer: o que é e como aplicar esse método?

A regra de Cramer funciona como uma técnica para solucionar sistemas com um número arbitrário de incógnitas.

A regra de Cramer é um tipo de estratégia que visa a resolução de sistemas de equações lineares usando o cálculo dos determinantes.

Portanto, a regra de Cramer serve como uma forma de resolver sistemas de equações lineares por meio do uso do cálculo dos determinantes.

Sendo que essa técnica foi desenvolvida pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752), por volta do século XVIII.

Enfim, o intuito de Gabriel Cramer era solucionar sistemas com um número arbitrário de incógnitas.

Como funciona a regra de Cramer?

A regra de Cramer funciona como uma técnica para solucionar sistemas com um número arbitrário de incógnitas.

Em resumo, ela foi criada pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar uma forma de tornar mais fácil a busca dos valores que são solução de um sistema linear que tenha o mesmo número de equações e incógnitas.

Sendo que um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si.

De acordo com o teorema de Cramer, se um sistema linear tiver o número de equações igual ao número de incógnitas e determinante diferente de zero, as incógnitas são calculadas por:

regra de Cramer

Em resumo, os valores de Dx, Dy e Dz são encontrados substituindo a coluna de interesse pelos termos independentes da matriz.

Desse modo, uma das formas de calcular o determinante de uma matriz é usando a regra de Sarrus:

Sendo assim, para usar a regra de Cramer, o determinante deve ser diferente de zero e, desta maneira, apresentar uma solução única.

No entanto, se for igual a zero, temos um sistema indeterminado ou impossível. Portanto, de acordo com a resposta tida no cálculo do determinante, um sistema linear pode ser categorizado em:

  • Determinado, pois possui uma solução única;

  • Indeterminado, pois possui infinitas soluções;

  • Impossível, pois não apresenta soluções.

Aplicação da regra de Cramer em um sistema 2×2

Para você entender melhor como a regra de Cramer funciona, vamos para um exemplo da sua aplicação em um sistema 2×2. Observe abaixo o sistema com duas equações e duas incógnitas:

1º passo

O 1º passo é calcular o determinante da matriz de coeficientes. Sendo assim, temos:

regra de Cramer

2º passo

No 2º passo temos que calcular Dsubstituindo os coeficientes da primeira coluna pelos termos independentes:

regra de Cramer

3º passo da regra de Cramer

Nessa etapa é preciso calcular Dsubstituindo os coeficientes da segunda coluna pelos termos independentes.

regra de Cramer

4º passo

Para finalizar, basta calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.

regra de Cramer

Portanto, x = 2 e y = – 3.

Aplicação da regra de Cramer em um sistema 3×3

Agora que você sabe como aplicar a regra de Cramer em um sistema de 2×2, vamos para um exemplo de aplicação em um sistema 3×3. Sendo assim, observe abaixo o sistema que tem três equações e três incógnitas.

1º passo

O 1º passo consiste em calcular o determinante da matriz de coeficientes.

Para isto, primeiramente, escrevemos os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz. Dessa forma, temos:

Temos então que multiplicar os elementos das diagonais principais e somar os resultados.

Agora multiplicamos os elementos das diagonais secundárias e invertemos o sinal do resultado.

Por fim, é preciso juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração para obter o determinante.

regra de Cramer

2º passo

No 2º passo é preciso substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz e calcular Dx.

regra de Cramer

Além disso, calculamos Dda mesma forma que encontramos o determinante da matriz.

regra de Cramer

3º passo

Essa etapa consiste apenas em substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz e calcular Dy.

regra de Cramer

4º passo da regra de Cramer

Agora temos que substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz e calcular Dz.

regra de Cramer

5º passo

Por fim, basta aplicar a regra de Cramer e calcular o valor das incógnitas.

regra de Cramer

Enfim, x = 1; y = 2 e z = 3.

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Fontes: Toda matéria, Brasil escolaMundo educação.

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