Diagonal do quadrado: como calcular, fórmula e exemplos

Diagonal do quadrado é o segmento de reta que liga dois vértices, sendo calculada pelo Teorema de Pitágoras e pela racionalização.

Dayane Borges
Diagonal do quadrado: Definição, Teorema de Pitágoras e exemplos

A diagonal do quadrado é a distância de um de seus cantos até o canto oposto. Ou seja, a diagonal do quadrado consiste na distância de um lado ao outro dos cantos do quadrado.

Calculando a diagonal do quadrado com o comprimento do lado

A primeira forma de calcular a diagonal do quadrado é com o comprimento do lado:

diagonal do quadrado

1- Encontre o comprimento de um lado do quadrado

O comprimento de um lado do quadrado provavelmente será fornecido na questão. Mas se você estiver trabalhando com um quadrado no mundo real, basta usar uma régua ou fita métrica para medir o comprimento.

Como em um quadrado todos os lados são iguais, basta medir um dos lados. No entanto, se você não souber o comprimento do quadrado, não tem como você usar esse método de cálculo.

  • Por exemplo, talvez você precise achar a diagonal de um quadrado com laterais de 5 cm.

diagonal do quadrado

2- Monte a fórmula

O próximo passo, é montar a fórmula d=l{\sqrt {2}} Na fórmula, d é igual ao comprimento da diagonal, e l equivale ao valor do lado do quadrado.

  • Vale destacar que essa fórmula deriva do Teorema de Pitágoras (a^{2}+b^{2}=c^{2}). Onde, uma diagonal divide um quadrado em dois triângulos retângulos. Sendo assim, você pode utilizar o valor do lado dele para achar o comprimento da diagonal. Em outras palavras, a hipotenusa do triângulo retângulo.
Diagonal do quadrado

3- Substitua o comprimento do lado quadrado na fórmula

O próximo passo, é substituir o comprimento do lado quadrado na fórmula. Sendo que é preciso substituir a variável l.

  • Se o comprimento do lado do quadrado é de 5 cm, por exemplo, então a fórmula ficará da seguinte maneira: d=5{\sqrt {2}}

diagonal do quadrado

4- Multiplique o comprimento

Por fim, resta multiplicar o comprimento do lado por {\sqrt {2}}. O resultado que você obtiver, será o comprimento da diagonal.

Uma dica: use a calculadora para que você consiga um resultado mais preciso. Mas se você não tiver uma calculadora, então você pode arredondar o valor para {\sqrt {2}}1,414.

  • Por exemplo, vamos imaginar que você está calculando a diagonal de um quadrado com lados de 5 cm. Neste caso, temos:
    d=5{\sqrt {2}}
    d=7,07
    Sendo assim, a diagonal do quadrado é de 7,07 cm.

Calculando a diagonal do quadrado com o valor do perímetro

A segunda maneira de calcular a diagonal do quadrado é com o valor do perímetro:

Diagonal do quadrado

1- Monte a fórmula

A primeira coisa que você deve fazer, é montar a fórmula do perímetro do quadrado. Sendo que a fórmula é: P=4l . Nela, o P é o perímetro do quadrado e o l é o equivalente ao comprimento do lado dele.

  • Vale destacar que você deve usar esse método apenas se você tiver o valor do perímetro.
  • Em resumo, para achar o comprimento da diagonal, você deve primeiro encontrar o comprimento de um lado do quadrado. Depois disso, basta usar a fórmula do perímetro e achar o valor de l.

diagonal do quadrado

2- Substitua o comprimento do perímetro quadrado na fórmula

O segundo passo é substituir o comprimento do perímetro quadrado na fórmula. Lembrando que você deve substituir a variável P.

  • Se o perímetro do quadrado tem 20 cm, por exemplo, então a fórmula ficará do seguinte modo: 20=4l

Diagonal do quadrado

3- Encontre o valor

Agora está na hora de encontrar o valor de l. Dessa forma, você deve dividir cada lado da equação por 4. Logo, o resultado vai ser o comprimento de um lado do quadrado.

  • Por exemplo:
    20=4l
    {\frac {20}{4}}={\frac {4l}{4}}
    5=l

diagonal do quadrado

4- Monte a fórmula

O quarto passo é montar a fórmula d=l{\sqrt {2}}. Sendo assim, na fórmula o d é igual ao comprimento da diagonal, e l equivale ao valor do lado do quadrado.

  • Lembrando que o Teorema de Pitágoras ( a^{2}+b^{2}=c^{2}). Em síntese, uma diagonal divide um quadrado em dois triângulos retângulos. Logo, você pode usar o valor do lado dele para encontrar o comprimento da diagonal, isto é, a hipotenusa do triângulo retângulo.

Diagonal do quadrado

5- Substitua comprimento do lado quadrado na fórmula

O penúltimo passo é substituir o comprimento do lado quadrado na fórmula. Lembrando que você deve substituir a variável l.

  •  Se o comprimento do lado do quadrado é de 5 cm, por exemplo, a fórmula é: d=5{\sqrt {2}}

Diagonal do quadrado

6- Multiplique

Por fim, multiplique o comprimento do lado por {\sqrt {2}}. O resultado será o comprimento da diagonal. Neste momento, o ideal é que você use uma calculadora para chegar a um resultado mais preciso.

Contudo, se você não tiver uma calculadora em mãos, basta arredondar o valor para {\sqrt {2}}1,414.

  • Se você estiver calculando a diagonal de um quadrado com lados de 5 cm, por exemplo, a fórmula será:
    d=5{\sqrt {2}}
    d=7,07
    Sendo assim, a diagonal do quadrado é de 7,07 cm.

Calculando a diagonal do quadrado com o valor da área

A terceira e última maneira de calcular a diagonal do quadrado é com o valor da área:

Diagonal do quadrado

1- Monte a fórmula da área do quadrado

O primeiro passo para calcular a lateral do quadrado com esse método, é montar a fórmula da área do quadrado.

A fórmula é A=l^{{2}}, sendo que A é equivalente ao valor da área do quadrado e l equivale ao  comprimento do lado do quadrado.

  • Você deve usar esse método apenas se você tiver o valor da área.
  • Para achar o comprimento da diagonal, você deve primeiro encontrar o comprimento de um lado do quadrado. Depois disso, você vai precisar usar a fórmula da área e encontrar o valor de l.

diagonal do quadrado

2- Substitua a medida da área na fórmula

O segundo passo é substituir a medida da área na fórmula. Neste caso, você deve  substituir a variável A.

  • Se a área do quadrado tem 25 cm, por exemplo, a fórmula ficará assim: 25=l^{{2}}

Diagonal do quadrado

3- Encontre o valor

Agora você deve encontrar o valor de l. Para isso, basta encontrar a raiz quadrada da área. Logo, o resultado será o comprimento de um lado do quadrado. Para achar a raiz, é essencial que você use uma calculadora.

  • Por exemplo:
    25=l^{{2}}
    {\sqrt {25}}={\sqrt {l^{{2}}}}
    5=l

Diagonal do quadrado

4- Monte a fórmula

O quarto passo é montar a fórmula d=l{\sqrt {2}}. Sendo que d equivale ao comprimento da diagonal, ao passo em que l equivale ao valor do lado do quadrado.

  • Essa fórmula é derivada do Teorema de Pitágoras (a^{2}+b^{2}=c^{2}). Dessa forma, uma diagonal divide um quadrado em dois triângulos retângulos, logo você pode usar o valor do lado dele para encontrar o comprimento da diagonal. Ou seja, a hipotenusa do triângulo retângulo.

Diagonal do quadrado

5- Substitua o comprimento

O quinto passo consiste em substituir o comprimento do lado quadrado na fórmula. Lembrando que você deve substituir a variável l.

  • Se o comprimento do lado do quadrado é de 5 cm, por exemplo, a fórmula será:
    d=5{\sqrt {2}}

Diagonal do quadrado

6- Multiplique o comprimento

Por fim, você precisa apenas multiplicar o comprimento do lado por {\sqrt {2}}. Com isso, o resultado será o comprimento da diagonal. Uma dica: use a calculadora para ter um resultado mais preciso. Se você não tiver uma calculadora, basta arredondar o valor para {\sqrt {2}}1,414.

  • Se você estiver calculando a diagonal de um quadrado com lados de 5 cm, por exemplo, a fórmula será:
    d=5{\sqrt {2}}
    d=7,07
    Sendo assim, a diagonal do quadrado é de 7,07 cm.

Enfim, gostou do texto? Então não deixe de aprender também como calcular a raiz quadrada de um número. Além disso, você pode gostar de aprender, como identificar números primos.

Fontes: Mundo Educação, Alunos Online, Wikihow, e Um Como

Bibliografia: 

  • BASTIAN, Irma Verri. O TEOREMA DE PITÁGORAS. 2000. 229 f. Dissertação (Mestrado) – Curso de Matemática, Pontifícia Universidade Católica, [S.L.], 2000.
  • PEREIRA, Mayara Gabriella Grangeiro; COUTO, Ana Paula Nascimento Pegado; COSTA, Acylena Coelho. ANÁLISE DE ERROS EM QUESTÕES DE TEOREMA DE PITÁGORAS: um estudo com alunos do ensino fundamental. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, [S.L.]. Anais […]. São Paulo: Sbem. p. 1-12.
  • Como calcular uma diagonal de um quadrado. Wikihow. Acesso em 29 de junho de 2022.

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