Média Geométrica – O que é, fórmula e exemplos de aplicação

A média geométrica é um mecanismo utilizado matematicamente para representar situações em que ocorrem aumentos sucessivos em um mesmo conjunto. Em outras palavras, é um conceito estatístico bastante utilizado na matemática financeira.

Ele é utilizado, entre outras funções, para comparar prismas e cubos que tenham o mesmo volume, além de quadrados e retângulos com áreas iguais. Ademais, também pode ser aplicado em situações de acúmulo da taxa percentual, isto é, situações de porcentagem sob porcentagem.

Fórmula para o cálculo da média geométrica

O cálculo da média geométrica é para encontrar a raiz enésima obtida a partir do produto dos elementos. Ela é utilizada para definir o valor médio de uma série de dados sucessivos. Por exemplo, para encontrar entre 2, 3, 4 e 7, é preciso multiplicar os quatro valores e, em seguida, tirar a raiz quarta do resultado obtido inicialmente. Veja abaixo:

M_{g =} √⁴2 · 3 · 4 · 7

M_{g =} √⁴168      M_{g ≈} 3,6

O primeiro passo é contar a quantidade de termos presentes no problema, para eleger qual raiz será tirada. Dessa forma, tirar a média geométrica com cinco elementos, por exemplo, é eleger, ao fim, a raiz quinta do valor obtido a partir da multiplicação entre os valores.

Uma outra aplicação pode ser solicitada em uma situação de comparação entre polígonos, como na imagem abaixo. Qual seria o valor x dos lados do quadrado?

Nessa situação, utilizaríamos a média geométrica. Como resultado, a área do retângulo seria a raiz quadrada da multiplicação entre 4 · 6,25.

M_{g =} √ 25

M_{g =} 5

Desse modo, o lado do quadrado mediria 5.

Esse é o método mais comum, utilizado geralmente quando temos alguma calculadora por perto.

Em contrapartida, o outro método que pode ser utilizado é o da fatoração.

Método da fatoração

O segundo método da média geométrica permite tirar a fatoração de cada valor a fim de facilitar o cálculo.

Assim, para encontrar a média geométrica de {3,25,27}, podemos:

3 = 3       25 = 5²         27 = 3³

M_{g =} √⁴ 3 · 5² · 3³       M_{g =} √⁴ 3⁴ · 5²           M_{g =} 3 · √⁴ 25           M_{g =} 3 · 2,23            M_g ≈ 6,69

Em seguida, um outro exemplo a ser aplicado envolve porcentagens. Um determinado produto, ao longo de quatro meses, possuiu vários aumentos consecutivos de 25%, 15%, 10% e 20%, respectivamente. Qual a média desses aumentos ao final do quarto mês?

Uma vantagem dos cálculos proporcionais é a possibilidade do valor ser transformado em formas decimais, o que facilita a simplificação dos cálculos. Sendo assim, podemos utilizar o seguinte raciocínio: o valor total do produto, antes dos aumentos, correspondia a 100%. Se no primeiro mês ele cresceu 25%, logo temos 125% ou 1,25.

Seguindo essa lógica, os outros três aumentos foram de 115% (1,15), 110% (1,1) e 120% (1,2). Portanto, podemos tirar a raiz enésima (quarta) do produto entre os valores decimais:

M_{g =} √⁴ 1,25 · 1,15 · 1,1 · 1,2

M_{g =} √⁴ 1,8975       M_g ≈ 1,173

Média geométrica e média aritmética

Para o cálculo de dados estatísticos, é importante saber qual tipo de média pode ser utilizada para a obtenção de valores centrais.

Dessa forma, a média geométrica deve ser utilizada quando os dados estão em progressão geométrica, isto é, de maneira sucessiva e com dados sem definições exatas.

Por outro lado, a média aritmética pode ser utilizada nos demais casos, isto é, sem que os dados estejam colocados de maneira crescente. Por exemplo, para calcular a média de notas escolares entre quatro irmãos (7,8; 8,5; 6,9 e 9,2) podemos somar as quatro medidas e dividir o valor final por quatro. O resultado médio seria, então, 8,1.

M_AS = 7,8 · 8,5 · 6,9 · 9,2 / 4

M_AS = 8,1

Essa é a média aritmética do tipo simples, ou seja, que não possui repetição de dados.

Média aritmética ponderada

Ao contrário dela, a média aritmética ponderada apresenta essa repetição e os cálculos também variam.

Digamos que entre os quatro maiores artilheiros de um campeonato de futebol, o saldo tenha sido de 17 gols entre os dois primeiros colocados, 14 gols do terceiro colocado e 11 gols do quarto e do quinto. Como resultado, qual seria a média aritmética de gols nesse campeonato?

Como há repetição de valores, os elementos que se repetem (x₁) devem ser multiplicados pela quantidade de vezes que se repetem (k₁), o que deve ser feito entre todas repetições, e somados. Em seguida, o resultado deve ser dividido pela quantidade total de repetições.

M_AP = (17 · 2) + 14 + (11 · 2) / 2 + 2

M_AP = 34 + 14 + 22 / 4       M_AP = 17,5

Portanto, a média de gols entre os artilheiros do campeonato foi de 17,5 gols.

Então, esperamos que você tenha aprendido sobre como calcular uma média geométrica e quando utilizá-la. Se gostou da matéria, confira também o que é média aritmética. 

Fontes: Mundo Educação, Brasil Escola, Toda Matéria

Imagens: Educa Mais Brasil, COC, Rádio Hertz,Pense Vestibular. Mercado e Consumo.