Matemática

Poliedros: o que são, principais elementos e propriedades

Os poliedros são figuras geométricas que possuem as faces planas. Além disso, podem ser classificados como regulares e não regulares.

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Na matemáticas existem diversas formas geométricas estudadas pela trigonometria. Dessa forma, dentre essas figuras estão os poliedros, que classificam-se como a junção de polígonos regulares de ângulos congruentes. Logo, para que um poliedro seja formado é necessário a junção dos vértices, arestas e faces dos polígonos.

Portanto, os poliedros são figuras tridimensionais. Porém, nem toda figura tridimensional é classificada como poliedro. Isso porque, algumas figuras possuem as faces com curvaturas. Como resultado disso, são denominadas de corpos redondos. Ademais, essas figuras possuem um número finito de polígonos planos.

Essas figuras dividem-se em dois grupos, sendo eles convexos ou não convexos. Portanto, o que determina as propriedades dessa figura trigonométrica é a relação de Euler, que explicaremos à seguir. Além disso, existe também os poliedros de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro).

Poliedros convexos

Poliedros, o que são? Definição, principais elementos e propriedades
Fonte: Passei Direto

Primeiro, o termo figura convexa refere-se à figuras que apresentam um ângulo menor que um raso. Ou seja, são figuras arredondadas por fora, de maneira curva. Sendo assim, um poliedro convexo é formados por polígonos convexos. Só para lembrar, os polígonos são figuras planas e fechadas formadas por segmentos de reta.

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Assim, para que um poliedro convexo se forme, são necessárias algumas determinações como:

  • Os dois polígonos que formam um poliedro convexo não pode estar no mesmo plano de um outro polígono, ou seja, não podem ser coplanares;
  • Os lados que formam os polígonos devem pertencer apenas à dois polígonos;
  • Cada plano de uma face deixa os demais polígonos das outras faces no mesmo semi-espaço;

A partir da formação de um poliedro, ele passa a ter em sua composição os seguintes elementos: face, aresta e vértice. Então, a face está relacionada à formação dos polígonos convexos. As arestas representam os lados dos polígonos das faces.

Em contrapartida, as vértices representam os vértices dos polígonos. Logo, os três elementos de um poliedro convexo são representados da seguinte forma:

  • Faces – F
  • Arestas – A
  • Vértices – V

Propriedades de um poliedro convexo

As propriedades aplicadas aos poliedros convexos podem dividir-se em duas partes. Assim, podemos determinar que:

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  1. A soma das arestas de todas as faces é igual ao dobro do número de arestas do poliedro.
  2. A soma dos vértices de todas as faces é igual à soma das arestas de todas as faces, que é igual ao dobro do número de arestas.

A partir disso, podemos definir a relação de Euler para poliedros convexos da seguinte forma: V – A + F = 2 ou F + V = 2 + A. Observe:

  • V: é o número de vértices;
  • A: é o número de arestas;
  • F: é o número de faces.

Então, utiliza-se essa relação quando essas formas forem convexas. Ou seja, quando o número de faces dos polígonos forem iguais ao número de arestas. Entretanto, a relação também pode utilizada em alguns casos quando o poliedro não for convexo.

Classificação dos poliedros

Pois bem, os poliedros dividem-se em dois tipos, sendo regulares e não regulares. Os regulares são classificados como aqueles em que os polígonos possuem em sua formação as faces regulares e congruentes. A partir disso, são classificados em:

  • Tetraedro: possui 4 faces triangulares;
  • Hexaedro: 6 faces quadrangulares;
  • Octaedro: 8 faces triangulares;
  • Dodecaedro: 12 faces pentagonais;
  • Icosaedro: 20 faces triangulares.
Poliedros, o que são? Definição, principais elementos e propriedades
Fonte: Estudo Kids

Já os poliedros não regulares são aqueles em as faces dos polígonos são constituídas por estruturas regulares e não regulares. Assim, alguns exemplos são:

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  • Prisma: classificado como figura geométrica espacial em que as bases são congruentes, ou seja, possui em sua estrutura uma base inferior e outra superior. Assim, quadriláteros ou paralelogramos formam essas figuras.
  • Pirâmide: poliedro cuja base é um polígono qualquer e cujas faces laterais são triângulos com um vértice comum.

Platão e essas figuras geométricas

Os poliedros de Platão são aqueles em que a relação de Euler se aplica, além das faces apresentarem o mesmo número de arestas. Além disso, os ângulos dos polígonos que formam essas figuras geométricas precisam conter o mesmo número de arestas.

Poliedros, o que são? Definição, principais elementos e propriedades
Fonte: Curso Athenas

Dessa forma, essas figuras geométricas classificam-se de cinco formas diferentes: (1) dependendo do número de arestas em relação ao vértice, (2) do números de arestas da face, (3) das arestas, (4) dos vértices e (5) das faces. Ou seja, são as mesmas classificações referentes aos poliedros regulares.

Você sabia?

  • Platão, ao estudar os poliedros regulares, listou cada um com elementos referentes à natureza. Como resultado disso, as figuras platônicas denominam-se também, sólidos platônicos;
  • Pois bem, em seu tratado filosófico intitulado Timeu, Platão apresenta terra, ar, água e fogo como cubo, octaedro, icosaedro e tetraedro , respectivamente. Por sua vez, o dodecaedro representa o universo;
  • O Teorema de Euler foi descoberto em 1758, porém em 1639, Descartes produziu um manuscrito no qual apresentou a mesma fórmula de Euler.

E então, o que achou da matéria? Se gosta de matemática, corre pra conferir o que são Retângulos e como fazer Notação Científica. 

Fontes: Brasil Escola, Brasil EscolaMatemática Básica, Toda Matéria.

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Bibliografia:

  • LUIZ, Robson. “Poliedros”; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poliedros.htm.
  • LIMA, Elon Lages. O TEOREMA DE EULER SOBRE POLIEDROS. Revista Matemática Universitária, [S.L], n. 2, p. 57-74, dez. 1985. Semestral. Disponível em: https://rmu.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/27/2018/03/n02_Artigo03.pdf.
  • PEREIRA, Hamilton Soares. Poliedros platônicos. 2011. 42 f. Monografia (Especialização) – Curso de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2011. Disponível em: https://repositorio.ufmg.br/handle/1843/BUOS-94QMJE.

Fonte imagem destaque: Colégio Integrado

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